Funkcijas paritāte

Funkcijas paritāte un dīvains ir viens notās pamatīpašības un vienības funkcijas izpēte ieņem iespaidīgu daļu no skolas kursa matemātikā. Daudzos veidos tas nosaka funkciju uzvedību un ievērojami atvieglo atbilstošā grafika veidošanu.

Ļaujiet mums noteikt funkciju paritāti. Vispārīgi runājot, pārbaudāmo funkciju uzskata par pat tad, ja tā atbilstības vērtības y (funkcijas) ir vienādas pret neatkarīgiem mainīgajiem (x) vērtībām tās definēšanas jomā.

Mēs sniedzam stingrāku definīciju. Mēs uzskatām funkciju f (x), kas definēta D. Tas būs pat tad, ja kāds punkts x definīcijas jomā:

• -x (pretējais punkts) arī atrodas šajā definīcijas jomā,

• f (-x) = f (x).

No iepriekš minētās definīcijasproti, simetrija attiecībā uz punktu O, kas ir izcelsme, jo, ja kāds punkts b ir ietverts vienotas funkcijas definēšanas jomā, tad attiecīgais punkts - b atrodas arī šajā reģionā. No iepriekš minētā izriet, ka secinājums izriet: vienmērīgā funkcija ir simetriska attiecībā pret ordinātas asi (Oy).

Kā praktiski noteikt funkciju paritāti?

Ļaujiet funkcionālajai atkarībai dot arIzmantojot formulu h (x) = 11 ^ x + 11 ^ (- x). Pēc algoritma, kas izriet tieši no definīcijas, vispirms mēs pārbaudām tās definīcijas domēnu. Acīmredzot tas ir definēts visām argumenta vērtībām, tas ir, pirmais nosacījums ir izpildīts.

Nākamais solis ir aizstāt argumentu (x) ar pretējo vērtību (-x).
Mēs iegūstam:
h (-x) = 11 ^ (-x) + 11 ^ x.
Tā kā papildinājums atbilst komutavējamam (pārvietojamai) likumam, ir acīmredzams, ka h (-x) = h (x) un dota funkcionālā atkarība ir pat.

Ļaujiet mums pārbaudīt funkcijas paritāti h (x) = 11 ^ x-11 ^ (-x). Pēc tāda paša algoritma iegūstam, ka h (-x) = 11 ^ (-x) -11 ^ x. Nododot mīnus, galu galā mums ir
h (-x) = - (11 ^ x-11 ^ (-x)) = -h (x). Tātad h (x) ir nepāra.

Starp citu, jāatceras, ka pastāv funkcijas, kuras nevar klasificēt saskaņā ar šīm īpašībām, tās sauc par ne vien pat ne parastu.

Pat funkcijām ir vairākas interesantas īpašības:

• šādu funkciju pievienošanas rezultātā tiek iegūts vienmērīgs skaitlis;
• šādu funkciju atņemšanas rezultātā tiek iegūts vienmērīgs rezultāts;
• Pareiza funkcija ir apgriezta;
• divu šādu funkciju reizināšanas rezultātā tiek iegūts vienmērīgs skaitlis;
• nepareizu un pat funkciju reizināšanas rezultātā kļūst nepāra;
• nepareizu un pat funkciju dalīšanas rezultātā kļūst nepāra;
• šādas funkcijas atvasinājums ir nepāra;
• ja mēs paaugstināsim nepāra funkciju uz laukumu, mēs iegūstam vienādu funkciju.

Funkcijas paritāti var izmantot vienādojumu atrisināšanai.

Lai atrisinātu vienādojumu tipam g (x) = 0, kur kreisajā pusēvienādojuma daļa ir vienāda funkcija, pietiek ar to, lai atrastu tā risinājumus mainīgā ne-negatīvajām vērtībām. Vienādojuma saknes jāapvieno ar pretējiem skaitļiem. Vienam no tiem ir jāpārbauda.

Tāda pati funkcija ir veiksmīgi izmantota nestandarta uzdevumu risināšanai ar parametru.

Piemēram, vai ir kāda parametra a vērtība, par kuru vienādojumam 2x ^ 6-x ^ 4-ax ^ 2 = 1 būs trīs saknes?

Ja ņemam vērā, ka mainīgais iekļaujas vienādojumāpat pakāpieniem, ir skaidrs, ka mainās x ar - x dotais vienādojums nemainās. No tā izriet, ka, ja kāds skaitlis ir tā sakne, tad tas ir pretējais skaitlis. Secinājums ir acīmredzams: vienādojuma saknes, kas nav nulle, iekļaujas tā risinājumu komplektā "pāri".

Ir skaidrs, ka ļoti saknes skaita 0 nav, proti skaits saknes šajā vienādojumā var būt tikai vēl, un, protams, par jebkuru vērtību parametru, tas nevar būt trīs saknes.

Bet sakņu skaits no vienādojuma 2 ^ x +2 ^ (- x) = ax ^ 4 + 2x ^ 2 + 2 var būt nepāra un jebkurai parametra vērtībai. Patiešām, ir viegli pārbaudīt, vai dotā vienādojuma sakņu kopa satur šķīdumus "pa pāriem". Ļaujiet mums pārbaudīt, vai 0 ir saknes. Kad mēs to aizstātu vienādojumā, iegūstam 2 = 2. Tādējādi papildus "pāra" 0 arī ir saknes, kas pierāda to nepāra skaitli.